Η θεωρία του Χάους και η Γεωμετρία Fractal

Fractal του Mandelbrot (φωτ. en.wikipedia.org)

Tο Χάος και η Απροσδιοριστία είναι ιδιότητες του Σύμπαντος. Οι επιστήμονες του 20ού αιώνα παραδέχτηκαν κάποια στιγμή, ότι να κάνουν προβλέψεις για όλα τα φαινόμενα. H Γεωμετρία Fractal ήταν αυτή που ήρθε να δώσει το κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο για τη στήριξη της θεωρίας του Χάους.

Στην προσπάθεια του ανθρώπου να περιγράψει τον κόσμο με ένα αιτιοκρατικό μοντέλο, αντιτάχθηκε η Φυσική του πρώτου μισού του 20ού αιώνα. Έτσι, την αιτιοκρατία ανέτρεπε άλλοτε η Θεωρία της Σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν κι άλλοτε η Αρχή της Απροσδιοριστίας του Βέρνερ Χάιζενμπεργκ.

Παρ’ όλα αυτά, οι επιστήμονες ένιωθαν ανίσχυροι να περιγράψουν την πραγματικότητα όταν βρίσκονταν αντιμέτωποι με τους χαοτικούς παράγοντες που περιλάμβαναν καθημερινές, φυσικές διαδικασίες όπως οι μετεωρολογικές συνθήκες, οι δίνες που σχηματίζονται στη ροή ενός ποταμού ή ακόμα –πέρα από αυτή καθαυτή τη φυσική– οι χρηματιστηριακοί δείκτες.

Σε αντίθεση με τον Λαπλάς που υποστήριζε ότι μπορούμε να προβλέψουμε τα πάντα στο Σύμπαν αρκεί να γνωρίζουμε τα δεδομένα και τους κανόνες της φύσης, οι επιστήμονες του 20ού αιώνα παραδέχτηκαν κάποια στιγμή, ότι δεν μπορούσαν να κάνουν προβλέψεις σε φαινόμενα όπως τα παραπάνω. Κι αυτό επειδή αφενός μεν δεν γνώριζαν όλους τους νόμους της φύσης, αφετέρου δε επειδή ήξεραν ότι σε τέτοιες διαδικασίες υπεισέρχεται ένας αμέτρητος αριθμός δεδομένων, τα οποία μάλιστα μεταβάλλονται από στιγμή σε στιγμή. Επομένως: χάος…

Ωστόσο, η ελληνική λέξη Χάος χρησιμοποιείται με διαφορετικό τρόπο, σε διαφορετικές περιπτώσεις, από διαφορετικούς ανθρώπους. Άλλη η έννοια του χάους στη θρησκεία, άλλη στην αρχαία ελληνική φιλοσοφία και άλλη στην καθομιλουμένη ελληνική γλώσσα όπου χάος, σημαίνει διάλυση, σύγχυση, αταξία κλπ. Τέλος, άλλη είναι η έννοια του χάους στην επιστήμη και άλλη η αναπαράστασή του με διάφορα σύνολα τύπου Mandelbrot.

Έτσι, λοιπόν, αρχικά αναπτύχθηκε η Θεωρία του Χάους –που κάποιοι τη θεωρούν ως την τρίτη επανάσταση της Φυσικής στον 20ό αιώνα, μετά τη Θεωρία της Σχετικότητας και τη Κβαντομηχανική– για να περιγράψει τέτοια χαοτικά φαινόμενα. Η θεωρία του Χάους διερευνά την έννοια της προβλεπτικότητας, δηλαδή το πως από παρόμοιες αρχικές υποθέσεις μπορούν να προκύψουν πολύ διαφορετικά συμπεράσματα.

Αναλυτικότερα, χάος είναι η χαοτική κατάσταση που προκύπτει όταν μεταβληθούν έστω και κατ’ ελάχιστο τα αρχικά δεδομένα ενός δυναμικού συστήματος. Αλλά στη νέα θέση που θα οδηγηθεί το σύστημα από έναν «ελκυστή» (attractor), θα κατακαθίσει και θα παγιωθεί σε μια θέση που όμως πάλι η προβλεψιμότητα της θα είναι αδύνατον να εκφραστεί με νόμους αιώνιους ή ντετερμινιστικά (αιτιοκρατικά). Στη δεκαετία του 1970 οι επιστήμονες άρχισαν να προσεγγίζουν την έννοια της αταξίας.

Οι μαθηματικοί, φυσικοί, αστρονόμοι, φυσιολόγοι, βιολόγοι και χημικοί αναζητούσαν σχέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά είδη μη κανονικότητας. Μετά τις πρώτες εκπλήξεις από τη χαώδη συμπεριφορά πολλών μοντέλων οι μαθηματικοί του χάους ζήτησαν να καταλάβουν τις χαοτικές κινήσεις της καθημερινής ζωής, όπως τις αλλαγές του καιρού, τις διακυμάνσεις στους πληθυσμούς των αγρίων ζώων, την εξέλιξη των τιμών στο χρηματιστήριο κ.ά. Αναπαράστησαν τα ανεξέλεγκτα αυτά φαινόμενα με μη-γραμμικές εξισώσεις σε υπολογιστές. Κι ανακάλυψαν την κρυφή τάξη που τα ορίζει.

Σήμερα γνωρίζουμε ότι η θεωρία του Χάους βασίζεται στη διαπίστωση πως το Χάος και η Απροσδιοριστία δεν οφείλονται στην ανικανότητα των οργάνων μέτρησης που διαθέτουμε, απλώς είναι ιδιότητες του Σύμπαντος.

Τα χαοτικά συστήματα είναι εξαιρετικά ευαίσθητα• μια πολύ μικρή αιτία, ένα γεγονός που είναι δύσκολο να παρατηρήσουμε ή να ελέγξουμε, μπορεί να προκαλέσει ένα σημαντικό αποτέλεσμα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι, όπως γράφεται στα βιβλία, το «φαινόμενο της πεταλούδας», εννοώντας ότι το τίναγμα των φτερών μιας πεταλούδας στην Κίνα, προκαλεί μια αλληλουχία συμβάντων που καταλήγουν σε μια καταιγίδα στις δυτικές ακτές των Η.Π.Α! Η φύση, λοιπόν, είναι ένα δυναμικό σύστημα και δεν περιγράφεται απλώς και μόνον με γραμμικές εξισώσεις.

Στην αστρονομία η συνειδητοποίηση της ύπαρξης του χάους στο ηλιακό σύστημα –παρόλο που το θεωρούσαμε ένα δυναμικό σταθερό σύστημα– προκαλεί ερωτήματα του κατά πόσο έπαιξε ρόλο το χάος στον σχηματισμό των πλανητών σε αυτό το σύστημα. Έτσι γρήγορα οι επιστήμονες άρχισαν να μελετούν το χάος και στην εφαρμοσμένη επιστήμη εκτός από τη θεωρία όπως έκαναν μέχρι τότε.

Ιδιόμορφες κινήσεις στα λεγόμενα χαοτικά συστήματα δημιουργούν ένα περίεργο συνονθύλευμα από τροχιές και περιδινήσεις, που περιέργως όμως δεν είναι εντελώς άτακτες. Καταλήγουν να έχουν μια μορφή, μια υποτυπώδη γεωμετρική μορφή που οι μαθηματικοί του χάους ονομάζουν «παράξενο ελκυστή» (strange attractοr).

Για να στηριχθεί όμως η Θεωρία του Χάους απαιτούνταν και το κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο. Αυτό ήρθε να το δώσει η Γεωμετρία Fractal, πατέρας της οποίας θεωρείται ο Γάλλος μηχανικός και μαθηματικός Benoit Mandelbrot (1924-2010).

Ένα οποιοδήποτε αντικείμενο της γεωμετρίας αυτής έχει ως βασικό χαρακτηριστικό του την αυτοομοιότητα, δηλαδή την ιδιότητα να εμπεριέχει μια μικρογραφία του εαυτού του σε οποιοδήποτε επίπεδο βάθους το εξετάσουμε. Έτσι, σε διάφορες κλίμακες παρατήρησης βλέπουμε να ξεδιπλώνεται μπροστά μας το ίδιο το αρχικό αντικείμενο.

Ακόμα, εκκινώντας από ένα απλό γεωμετρικό σχήμα –όπως ένα τρίγωνο– και εφαρμόζοντας κατ’ επανάληψη έναν απλό γεωμετρικό μετασχηματισμό, μπορούμε να καταλήξουμε σε ένα fractal αντικείμενο μεγάλης πολυπλοκότητας, φαινομενικά χαοτικό. Το Χάος αποκτά ξαφνικά τάξη. Η Γεωμετρία Fractal, αποδείχθηκε για τη Θεωρία του Χάους ένα σπουδαίο εργαλείο, για να μπει τάξη στο Χάος. Δομές fractal αποκαλύφθηκαν σε συστήματα και φαινόμενα που απλώς θα χαρακτηρίζαμε χαοτικά, όπως στον στροβιλισμό, στις νιφάδες του χιονιού, στη δομή και την κατανομή των γαλαξιών, στον ανθρώπινο εγκέφαλο, στην κατανομή των δασών στη γήινη επιφάνεια, στη διαμόρφωση των ακτών, στους σχηματισμούς των πνευμονικών βρόγχων, στη μουσική μεγάλων συνθετών (όπως του Μότσαρτ και του Μπαχ) και αλλού. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, οι φυσικοί και οι αστροφυσικοί ομιλούν πλέον όχι για Χάος και Τάξη, αλλά για μια Υπέρ-Τάξη, στην οποία τυχαίο και χαοτικό δεν είναι παρά μόνο αυτό που δεν μπορούμε να περιγράψουμε ή δεν έχουμε εντοπίσει ακόμα τους νόμους που το διέπουν. Η έρευνα θα συνεχιστεί, το άγνωστο θα οριοθετηθεί και… οι απαντήσεις θα έλθουν από τους νεότερους ερευνητές!